1750-1850 : rupture(s) et continuité(s) en géométrie

Bilan du projet de recherche GEO17501850
Notre opération visait à mieux comprendre le processus qui conduit à l’émergence de nouvelles géométries et d’une nouvelle conception de l’espace au XIXe siècle en procédant à une étude fine des continuités et des ruptures à l’œuvre dans certains aspects, souvent méconnus, du développement de la géométrie au cours de la période 1750-1850. Nous avons utilisé, pour ce faire, différentes approches historiques, prenant comme objets d’études aussi bien les textes scientifiques que les contextes institutionnels, sociaux ou culturels.
par Olivier Bruneau (Laboratoire d’Histoire des Sciences et de Philosophie – Archives Henri-Poincaré UMR 7117 & MSH Lorraine USR 3261)

Résumé des résultats de la recherche

Organisation et résultats de la recherche
Un travail en archives a été effectué par Olivier Bruneau en juillet 2013 dans le fonds ancien de l’Université d’Édimbourg afin de travailler en particulier sur la place de la géométrie dans cette université au début du XIXe siècle.
Outre quelques réunions informelles et d’organisation, nous avons organisé plusieurs journées d’études principalement en 2013 à Nancy (avec des conférences de Philippe Lombard, Caroline Jullien, Jean-Pierre Friedelmeyer, Renaud D’Enfert, Jean Delcourt, Olivier Bruneau…). Celles-ci étaient essentiellement exploratoires, elles n’ont pas donné lieu à publication. D’autres ont été organisées mais elles ne portaient qu’en partie sur la géométrie.

Tableau des participants :

La majeure partie du projet a été consacrée à l’écriture d’un chapitre important de l’ouvrage dirigé par Christian Gilain et Alexandre Guilbaud, « Sciences mathématiques 1750-1850, Continuités et ruptures » publié chez CNRS Éditions en 2015. La liste des articles de ce chapitre consacré à la géométrie est donnée dans la partie publication.

D’autre part, l’organisation d’un colloque international (initialement prévu en 2014) a finalement eu lieu les 25 et 26 juin 2015 (à la MSH Lorraine, site de Nancy). Le programme de ce colloque est donné en annexe.

Un numéro spécial de la revue internationale à comité de lecture Philosophia Scientiae sera consacré à cette thématique. Un appel à contributions sera envoyé en février 2016. La parution de ce numéro est programmée en janvier 2018.

Les divers travaux parus dans l’ouvrage cité, les interventions dans les diverses journées d’étude et dans le colloque international ont permis de renouveler les études dans le champ de l’histoire de la géométrie de cette période. Loin d’une simple rupture radicale en géométrie entre les deux siècles, il en ressort un mélange chez les géomètres du début du XIXe siècle entre innovations et traditions, ces dernières pouvant correspondre à des continuités réelles ou à des constructions à des fins de justification. À titre d’exemples des travaux que nous avons menés, nous donnons un aperçu des trois articles formant le chapitre consacré à la géométrie dans l’ouvrage cité plus haut.

Le premier article est une étude que Christophe Eckes consacre aux travaux du savant mulhousien Lambert sur la perspective et la géométrie de la règle et leur réception au début du XIXe siècle. Dans son ouvrage La perspective affranchie de l’embarras du plan géométral publié en 1759, simultanément en français et en allemand, Lambert propose, pour le dessin des figures en perspective, des méthodes nouvelles qui vont être adoptées dans l’enseignement de certaines académies d’art allemandes, comme celle de Berlin. Publiée en 1774, uniquement en allemand, la seconde édition de l’ouvrage contient une addition formée de quinze problèmes de géométrie à la règle seule pour laquelle Lambert a pu être considéré, jusque récemment dans l’historiographie, comme un « précurseur » de la géométrie projective de Poncelet. À la suite de l’historienne K. Andersen, selon laquelle Poncelet ne devait pas connaître le texte de Lambert au moment de l’élaboration de sa théorie, C. Eckes remet également en cause cette thèse continuiste en replaçant les recherches du savant sur la géométrie de la règle dans leur contexte historique spécifique : ses travaux originaux sur la perspective mais aussi la tradition des problèmes mathématiques récréatifs. D’après C. Eckes, Poncelet et Chasles sont eux-mêmes à l’origine de cette construction établissant Lambert comme l’un des précurseurs de leurs théories, dans le but de promouvoir leur projet de nouvelle géométrie synthétique concurrençant la géométrie analytique. Si la thèse d’une filiation directe entre les travaux de Lambert et ceux de Poncelet apparaît ainsi artificielle, l’article montre aussi que la genèse de la géométrie projective s’est nourrie d’autres travaux de géométrie de la règle liés à des problèmes de géométrie pratique impliquant des données inaccessibles.

La contribution de Philippe Nabonnand se propose d’étudier l’argumentaire développé par Poncelet dans son Traité des propriétés projectives des figures (1822) pour légitimer la double rupture que le mathématicien introduit par rapport aux travaux antérieurs : rupture avec la tradition de la géométrie analytique, affirmée par l’intention de ne pas utiliser les moyens de l’algèbre, et rupture avec la pratique traditionnelle de la géométrie pure « des Anciens », associée à la volonté de développer la généralité de la géométrie synthétique. L’auteur montre que cet argumentaire repose paradoxalement sur des références à des traditions s’exprimant dans les travaux de ses prédécesseurs, des plus anciens aux plus récents : tradition euclidienne assurant la rigueur des démonstrations sur la figure primitive ; tradition newtonienne dans l’étude des coniques dont la théorie sert de terrain d’expérience des nouvelles méthodes projectives ; principe « de continuité » pour étendre les résultats à une classe entière de figures. Pour justifier l’adoption de son principe de continuité dont la pertinence a été discutée par ses contemporains, notamment Cauchy, le principal argument du mathématicien consiste ainsi à montrer que ce même principe est déjà couramment utilisé depuis longtemps en géométrie analytique. S’agissant de son programme de recherche en géométrie, la revendication de nouveauté assumée par Poncelet va donc étroitement de pair, selon P. Nabonnand, avec la volonté d’inscrire son approche dans des traditions géométriques, et plus largement, dans un héritage mathématique nécessaire au mathématicien pour faire la preuve de la rigueur et de la généralité de ses méthodes.

Dans la contribution d’Olivier Bruneau, ce dernier explore le sujet, encore peu étudié, de l’évolution de la géométrie et de ses différentes branches en Grande-Bretagne, entre la mort de Maclaurin et le début de l’ère victorienne. Au regard de la problématique de l’ouvrage, le thème paraît d’autant plus intéressant que le poids de la tradition géométrique classique est souvent avancé pour expliquer l’image de déclin et de marginalisation traditionnellement associée aux mathématiques britanniques au cours de cette période – image récemment discutée pour ce qui concerne l’analyse mathématique. Sur la base d’un corpus constitué à partir d’un recensement le plus complet possible des ouvrages et articles (dans les périodiques comme dans les encyclopédies) traitant de géométrie entre 1750 et 1830, O. Bruneau livre une première cartographie des travaux britanniques de la période, d’abord présentée en fonction des types de géométrie développés (géométrie classique, géométrie pratique et perspective, géométrie descriptive, application de l’algèbre et de l’analyse à la géométrie), puis analysée à la lumière des différents lieux et modes de production et de diffusion de la géométrie identifiés. De là, plusieurs tendances se dessinent. La période paraît en premier lieu marquée par une incontestable prégnance de la géométrie classique, notamment dans l’enseignement, s’appuyant sur une tradition insulaire mais aussi sur la réception d’ouvrages continentaux au début du XIXe siècle. Le domaine de l’application de l’algèbre et de l’analyse à la géométrie n’est cependant pas absent au XVIIIe siècle, notamment à partir des années 1770, même si les publications en la matière augmentent de façon spectaculaire au début du XIXe siècle sous l’influence continentale.

Comme c’est le cas pour l’analyse mathématique, la cartographie ainsi établie montre aussi la forte réactivité du milieu écossais, qui intègre très rapidement les sources du Continent, dont les Éléments de géométrie de Legendre dès les premières années du XIXe siècle, suivis de près par la géométrie descriptive de Monge, qui fait l’objet d’articles dans les encyclopédies dès les premières années de la décennie 1810. Il faut cependant attendre les années 1820 pour voir apparaître des ouvrages entièrement consacrés à la géométrie « algébrique ». Très proches du milieu écossais, les académies militaires et le riche corpus encyclopédique britanniques semblent, ici encore, devoir jouer un important rôle de relais entre la Grande-Bretagne et le Continent à la charnière des deux siècles.

Liens avec la formation
Cette opération a nourri une partie de l’enseignement d’histoire de la géométrie projective dans le cadre du Master à distance d’histoire des sciences (Madelhis) de Philippe Nabonnand. Par ailleurs, Snezana Lawrence pendant son séjour en tant qu’enseignant-chercheure invitée a produit un cours comportant quatre parties – Introduction à la géométrie dans l’architecture, la géométrie descriptive et l’architecture, l’histoire de l’application des surfaces développables en architecture et l’histoire de la quatrième dimension.

Indicateurs de résultats
5 équipes impliquées :
– En Lorraine : Archives Poincaré – LSHP
– Au niveau national : Institut Mathématiques de Jussieu (Paris)
– Au niveau international : Université de Wuppertal (Allemagne), Bath University
(Grande-Bretagne) et Université Polytechnique de Catalogne (Espagne)
Cela représente 5 chercheurs équivalent temps plein.

Colloques, journées d’études, séminaires :
Outre la participation aux journées d’études internes à l’opération, les membres de cette opération ont communiqué dans divers séminaires ou colloque. Voici quelques exemples :
Olivier Bruneau :
7 mars 2014 : « La géométrie en Grande-Bretagne, 1750-1830 », Séminaire d’histoire des mathématiques de l’IHP, Institut Henri Poincaré, Paris.
17-18 décembre 2015 : «Mathematics and its diffusion in British military academies», Charles Hutton (1737-1823): being mathematical in the Georgian period, All Souls College, Oxford.
Jean Delcourt :
13 mai 2013 : « 1732 à l’Académie : Bernoulli, Clairaut, Maupertuis, Nicole et les épicycloïdes sphériques », Colloque Clairaut, Observatoire de Paris.
17 mai 2013 : « Lagrange et la géométrie : une théorie du contact », Colloque Lagrange, Institut Henri Poincaré, Paris.
11 mai 2016 : « Les surfaces développables, Euler et Monge, un analyste et un géomètre», séminaire « Histoire et philosophie des mathématiques », IREM de Paris.
Mònica Blanco :
10-13 juin 2015 : « Edmund Stone and the study of mathematical instruments: of the use of the “English sector” in trigonometry », International Meeting AMS-EMS-SPM, Porto.
27-29 septembre 2014 : « Edmund Stone i l’estudi d’instruments matemàtics: el cas del sector anglès ». XIII Trobada d’Història de la Ciència i de la Tècnica (de la SCHCT). Sant Feliu de Guíxols.

Lors du colloque organisé  des 25 et 26 juin 2015 :
Christian Gilain : « Mise en perspective de la problématique de la continuité et la rupture en géométrie : le cas de Gaspard Monge »
Mònica Blanco : « Le traitement des courbes dans l’Europe du 18e siècle : une étude comparative parmi des manuels de Calcul Différentiel »
Jean-Daniel Voelke : « Lacroix et le renouveau de l’enseignement de la géométrie analytique »
Olivier Bruneau : « La géométrie à travers le prisme des dictionnaires britanniques (1750-1830) »
Thierry Joffredo : « Geometry of algebraic curves (1750-1850) : mathematicians and historians readings of Gabriel Cramer’s, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques (1750) »
Philippe Nabonnand : « Autour de la généralité en géométrie »
Jean Delcourt : « Les familles de droites 1750-1850, premier épisode »

Les autres intervenants qui ne faisaient pas partie de notre opération sont :
Vincenzo de Risi (MPIWG, Berlin) : « The Theory of Parallels in 18th-century Germany: from Lambert to non-Euclidean Geometry »
Jemma Lorenat (Pitzer College, Claremont, EU) : « Examining the opposition between synthetic and analytic geometry in the early research of Jakob Steiner and Julius Plücker »

affiche colloque mai 2015Publications
Nous voulons mettre en avant le chapitre 3, « Géométrie : entre tradition et modernité », du livre Sciences mathématiques 1750-1850 : continuités et ruptures, dirigé par C. Gilain et A. Guilbaud, paru en octobre 2015 chez CNRS Editions (p. 351-440) :
– Christophe Eckes : « Les travaux de Lambert sur la perspective et leur réception au début du XIXe siècle », p. 353-380.
– Philippe Nabonnand : « L’étude des propriétés projectives des figures par Poncelet : une modernité explicitement ancrée dans la tradition », p. 381-402.
– Olivier Bruneau : « La géométrie en Grande-Bretagne 1750-1830 », p. 403-440.
Pour un résumé de ces articles, voir la présentation donnée pages 119-121 du livre.

Un ouvrage écrit à partir du colloque « François Jacquier (1711-1788) un religieux dans la république des lettres et des sciences au siècle des lumières » (organisé à Vitry le François les 14 et 15 octobre 2011) sortira lors du premier semestre 2016 aux Presses Universitaires de Nancy-EDULOR dans la collection Histoires de géométries.

Le numéro 22-1 (2018) de Philosophia Scientiae sera consacré à notre problématique. Un appel à contribution est lancé en février 2016. Les participants à notre colloque international sont invités à soumettre un article.

Perspectives de prolongement
La décision de prolonger cette opération sera prise à la suite de la publication du numéro spécial de Philosophia Scientiae (2018).


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